Wii Sports - Tennis skill points system

I've been for a while trying to figure out the skill points rating system used by Wii Sports Tennis. I think I have it mostly figured out for the case of always the same rivals. My current problem is how the next rivals' skill level is determined.

First, a brief intro. The ranking system only applies to playing against the computer (otherwise I guess it would be too easy to cheat by playing against an unresponsive player). It rewards you more the more skilled your rivals are, the better score you get and the lower your ranking is, and penalizes you harder the higher your ranking is, the lower your score is and the worse your rivals are. If you win, your rivals' skill grows (up to a maximum); if you lose, it decreases (down to a minimum). There, I said it was brief.

The variables that influence the skill points are: current skill, current rival's skill, and score in each game (note "game", not "match", though I haven't thoroughly investigated multiple game matches). How exactly?

The skill points are a floating point number, of which only its integer part (its floor, i.e. rounded down, not rounded to nearest) is visible. A combination of the game score and the rival's skill gives the limit (the asymptote) for an exponential decay function that when starting with zero points, has the form a·(1-b^-t) for a certain asymptote a and a certain base b which equals 20/19 in this case, with t being the number of games played so far. That function is "factory-tuned" as follows: first, with a zero skill rival and starting at zero points, depending on the score you get, you earn the following skill points:

• Win 40-0: 60 points
• Win 40-15: 52.5 points
• Win 40-30: 45 points
• Win Adv-40: 40 points
• Lose 40-Adv: 20 points
• Lose 30-40: 15 points
• Lose 15-40: 7.5 points
• Lose 0-40: 0 points

(Note it doesn't matter how you reach the win or lose situation, or how many times you get to deuce during a game; only the final result matters). The asymptote of the exponential function will always be 20 times that value:

• Series of 40-0 wins: the asymptote will be 1200 points
• Series of 40-15 wins: the asymptote will be 1050 points
• Series of 40-30 wins: the asymptote will be 900 points
• Series of Adv-40 wins: the asymptote will be 800 points
• Series of 40-Adv losses: the asymptote will be 400 points
• Series of 30-40 losses: the asymptote will be 300 points
• Series of 15-40 losses: the asymptote will be 150 points
• Series of 0-40 losses: the asymptote will be 0 points

Based on the above, we can now figure out the function and parameters for a zero skill rival. Here it is:

S_new = (a + 19·S_previous)/20

where a is the asymptote, and S_previous and S_new are the skill points before and after the game, respectively. The 20 (and the 19 which is just one less than that) is the multiplier between the score in the first game and the corresponding asymptote as explained above.

The effect of the rival's skill seems to be to offset the asymptote. When the rival's skill is maxed out (Elisa and Sarah), the offset is 1200. That gives the famous asymptote of 2400 that nobody can reach (because that's how asymptotes work). For example, if you won all your games by 40-15 against Elisa and Sarah, the asymptote would be 2250 (1200+1050). That also means that when you get a skill of 2250 or more, you always lose points if you don't win 40-0 (ok, ok, technically it's more proper to say that you never earn points).

(By the way, there's a couple claims of reaching more than 2399 points but I don't believe them. One claims to get 2403 but it's obviously fake; the other claims 2400 exactly.)

The only big remaining problem I have is how to determine what's the skill of the next rival you will confront. Using a spreadsheet, I've found that the asymptote offset seems to resemble a sigmoid function as the player keeps winning, which is funny because the Elo rating system uses it, though not in the same way, I think (I know very little about it so I can't judge). And not only the offset needs to be determined, but it would be nice to find out the actual ranking too. There seems to be some kind of higher level rounding in the rivals' visible skills: you don't face rivals with a skill of 1317, for example; they are rounded to 1300.

Other problems I have not investigated are how a second player affects your rating, and how exactly your score varies in case of a multi-set match. If you win all games of a match with the same score, the effect on the skill points seems to be like playing these games in one-game matches one by one, except that the rivals' skill doesn't change.

Game Logs

If you want to help, here are some logs of scores I got from the game and the values I got from the spreadsheet. If there is a testable hypothesis that you think could be resolved with an experiment to help determine the rivals formula, but don't feel like launching Tennis just to test, please say so in the comments, and I may take the task of finding out the result. Currently I'm quite lost on how to determine it.

The first table below determines how many points you get at start. It gave me the first hints on how the scoring system works. Note that even if the points are rounded down, the skill raises to 8 and 53 instead of 7 and 52 for 15-40 and 40-15 respectively. That's because the first rivals skill is not zero, and that difference makes that score give something between 0.5 and 1 more points, that bumps the number. I actually tested that later (see Table 6 below).

Unlike the rest, this table is restarted using a new guest player at every row. The rest are restarted only for the first row.

Table 1: Scores at the beginning

Rivals skill	Skill before	Score	Points	Skill after	Next rivals skill
63/49	0	40-0	+60	60	83/65
63/49	0	40-15	+53	53	78/49
63/49	0	40-30	+45	45	73/49
63/49	0	Adv-40	+40	40	70/49
63/49	0	40-Adv	+20	20	57/35
63/49	0	30-40	+15	15	54/35
63/49	0	15-40	+8	8	50/35
63/49	0	0-40	±0	0	45/23

Now a series of all 40-0. It's interesting to note that at first, the skill increment decreases, but as the rivals' skill rate grows, the increment rate goes from decreasing to increasing and keeps being that way until dealing with the best rivals, at which moment it suddenly switches to decreasing again.

Table 2: Series of 40-0 wins

Rivals skill	Skill before	Score	Points	Skill after	Next rivals skill
63/49	0	40-0	+60	60	83/65
83/65	60	40-0	+58	118	120/100
120/100	118	40-0	+55	173	190/160
190/160	173	40-0	+54	227	270/230
270/230	227	40-0	+53	280	380/340
380/340	280	40-0	+53	333	520/490
520/490	333	40-0	+53	386	670/650
670/650	386	40-0	+55	441	850/840
850/840	441	40-0	+57	498	1100/1000
1100/1000	498	40-0	+61	559	1300/1200
1300/1200	559	40-0	+65	624	1500/1400
1500/1400	624	40-0	+68	692	1600/1600
1600/1600	692	40-0	+71	763	1800/1800
1800/1800	763	40-0	+72	835	1900/1800
1900/1800	835	40-0	+73	908	1900/1900
1900/1900	908	40-0	+73	981	2000/1900
2000/1900	981	40-0	+71	1052	2000/1900
2000/1900	1052	40-0	+67	1119	2000/1900
2000/1900	1119	40-0	+64	1183	2000/1900
2000/1900	1183	40-0	+61	1244	2000/1900
2000/1900	1244	40-0	+58	1302	2000/1900
2000/1900	1302	40-0	+55	1357	2000/1900
2000/1900	1357	40-0	+52	1409	2000/1900
2000/1900	1409	40-0	+49	1458	2000/1900
2000/1900	1458	40-0	+47	1505	2000/1900
2000/1900	1505	40-0	+45	1550	2000/1900
2000/1900	1550	40-0	+43	1593	2000/1900
2000/1900	1593	40-0	+40	1633	2000/1900
2000/1900	1633	40-0	+38	1671	2000/1900
2000/1900	1671	40-0	+37	1708	2000/1900
2000/1900	1708	40-0	+34	1742	2000/1900
2000/1900	1742	40-0	+33	1775	2000/1900
2000/1900	1775	40-0	+31	1806	2000/1900
2000/1900	1806	40-0	+30	1836	2000/1900
2000/1900	1836	40-0	+28	1864	2000/1900
2000/1900	1864	40-0	+27	1891	2000/1900
2000/1900	1891	40-0	+25	1916	2000/1900
2000/1900	1916	40-0	+25	1941	2000/1900
2000/1900	1941	40-0	+22	1963	2000/1900
2000/1900	1963	40-0	+22	1985	2000/1900
2000/1900	1985	40-0	+21	2006	2000/1900
2000/1900	2006	40-0	+20	2026	2000/1900
2000/1900	2026	40-0	+18	2044	2000/1900
2000/1900	2044	40-0	+18	2062	2000/1900
2000/1900	2062	40-0	+17	2079	2000/1900
2000/1900	2079	40-0	+16	2095	2000/1900
2000/1900	2095	40-0	+15	2110	2000/1900
2000/1900	2110	40-0	+15	2125	2000/1900
2000/1900	2125	40-0	+13	2138	2000/1900
2000/1900	2138	40-0	+13	2151	2000/1900
2000/1900	2151	40-0	+13	2164	2000/1900
2000/1900	2164	40-0	+12	2176	2000/1900
2000/1900	2176	40-0	+11	2187	2000/1900

A series of 0-40 followed by a series of 40-0. Observe how our skill increases to 1 even if we were losing from the very beginning. That's because the rivals' skill was not zero, thus the asymptote goes a bit over 1. But as games progress and rivals are weaker, that point drops again. Note also how the second rival's skill increases at some point. I believe that what we see is the absolute value of the second rival's computed skill, which goes actually down to -4 (from 4/0 to 4/-3 to 2/-4 to 1/-4 to 0/-4).

Table 3: Series of 0-40 losses followed by a series of 40-0 wins

Rivals skill	Skill before	Score	Points	Skill after	Next rivals skill
63/49	0	0-40	±0	0	45/23
45/23	0	0-40	±0	0	32/12
32/12	0	0-40	+1	1	23/12
23/12	1	0-40	±0	1	17/4
17/4	1	0-40	±0	1	12/0
12/0	1	0-40	±0	1	8/0
8/0	1	0-40	±0	1	6/0
6/0	1	0-40	±0	1	4/0
4/0	1	0-40	±0	1	4/3
4/3	1	0-40	±0	1	2/4
2/4	1	0-40	±0	1	2/4
2/4	1	0-40	±0	1	1/4
1/4	1	0-40	-1	0	1/4
1/4	0	0-40	±0	0	1/4
1/4	0	0-40	±0	0	0/4
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
0/4	0	40-0	+60	60	6/0
6/0	60	40-0	+57	117	27/12
27/12	117	40-0	+54	171	68/49
68/49	171	40-0	+52	223	130/100
130/100	223	40-0	+51	274	220/180
220/180	274	40-0	+49	323	340/310
340/310	323	40-0	+50	373	480/460
480/460	373	40-0	+50	423	640/620
640/620	423	40-0	+52	475	820/800
820/800	475	40-0	+55	530	1000/990
1000/990	530	40-0	+58	588	1300/1200
1300/1200	588	40-0	+63	651	1500/1400
1500/1400	651	40-0	+66	717	1600/1600

Results for a short series of three-game matches won 40-0, 40-0:

Table 4: Series of 40-0, 40-0 wins in three-game matches

Rivals skill	Skill before	Score 1st game	Score 2nd game	Score 3rd game	Points	Skill after	Next rivals skill
63/49	0	40-0	40-0	-	+118	118	120/100
120/100	118	40-0	40-0	-	+108	226	270/230
270/230	226	40-0	40-0	-	+103	329	520/490

Same for a short series of five-game matches won 40-0, 40-0, 40-0:

Table 5: Series of 40-0, 40-0, 40-0 wins in five-game matches

Rivals skill	Skill before	Score 1st game	Score 2nd game	Score 3rd game	Score 4th game	Score 5th game	Points	Skill after	Next rivals skill
63/49	0	40-0	40-0	40-0	-	-	+172	172	190/160
190/160	172	40-0	40-0	40-0	-	-	+154	326	540/440
540/440	326	40-0	40-0	40-0	-	-	+173	479	1100/1000

In the next series, I first went as close to 0.0 points as my patience could bear, with the rivals as low as possible. Then I scored a 15-40 to confirm my hypothesis that the points are rounded down, not to nearest, by checking whether it went up to 7 or to 8. As I expected, it went up to only 7, proving my hypothesis. Then I did a few more experiments to get a bit more understanding on how the rates of the rivals worked, specifically if they never increased if I lost, even if my skill increased. That seems to be the case, but I need more experimenting in this field.

Table 6: Series of 0-40 losses followed by a 15-40 loss, and more checks on the effects of various scores over the rivals' skill.

Rivals skill	Skill before	Score	Points	Skill after	Next rivals skill
(First 15 rows as in Table 3)
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
(Repeat the previous row 24 more times, total 25 times)
0/4	0	15-40	+7	7	0/4
0/4	7	0-40	-1	6	0/4
0/4	6	0-40	±0	6	0/4
0/4	6	0-40	±0	6	0/4
0/4	6	0-40	-1	5	0/4
0/4	5	0-40	±0	5	0/4
0/4	5	0-40	±0	5	0/4
0/4	5	0-40	±0	5	0/4
0/4	5	0-40	-1	4	0/4
0/4	4	0-40	±0	4	0/4
0/4	4	0-40	±0	4	0/4
0/4	4	0-40	±0	4	0/4
0/4	4	0-40	-1	3	0/4
0/4	3	0-40	±0	3	0/4
0/4	3	0-40	±0	3	0/4
0/4	3	0-40	±0	3	0/4
0/4	3	0-40	±0	3	0/4
0/4	3	0-40	±0	3	0/4
0/4	3	0-40	-1	2	0/4
0/4	2	0-40	±0	2	0/4
0/4	2	0-40	±0	2	0/4
0/4	2	0-40	±0	2	0/4
0/4	2	0-40	±0	2	0/4
0/4	2	0-40	±0	2	0/4
0/4	2	0-40	±0	2	0/4
0/4	2	0-40	±0	2	0/4
0/4	2	0-40	-1	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	±0	1	0/4
0/4	1	0-40	-1	0	0/4
0/4	0	15-40	+8	8	0/4
0/4	8	0-40	±0	8	0/4
0/4	8	0-40	-1	7	0/4
0/4	7	15-40	+7	14	0/4
0/4	14	15-40	+7	21	0/4
0/4	21	15-40	+6	27	0/4
0/4	27	15-40	+7	34	0/4
0/4	34	30-40	+13	47	0/4
0/4	47	40-Adv	+17	64	0/4
0/4	64	Adv-40	+37	101	1/4

This time I went close to zero again, then tested several series of scores. That allowed me to test what the asymptotes were for scores from 0-40 to 40-Adv, while keeping the rivals' scores minimized. It's the longest-running experiment. Believe me, it was tedious to do, but the results were worth it. I gave up on checking if the asymptotes were really asymptotes after 50 tries in two cases. I also tried "jumping to the other side" of the asymptote in the case of 400, just to be sure. For some of them, I suspected what the asymptotes were, so I scored the necessary points to get there as fast as possible without crossing the line.

Table 7: Series of 0-40 losses followed by a series of 40-Adv losses, then test the asymptotes for other scores.

Rivals skill	Skill before	Score	Points	Skill after	Next rivals skill
(First 15 rows as in Table 3)
0/4	0	0-40	±0	0	0/4
(Repeat the previous row 29 more times, total 30 times)
0/4	0	40-Adv	+20	20	0/4
0/4	20	40-Adv	+19	39	0/4
0/4	39	40-Adv	+18	57	0/4
0/4	57	40-Adv	+17	74	0/4
0/4	74	40-Adv	+16	90	0/4
0/4	90	40-Adv	+16	106	0/4
0/4	106	40-Adv	+14	120	0/4
0/4	120	40-Adv	+14	134	0/4
0/4	134	40-Adv	+14	148	0/4
0/4	148	40-Adv	+12	160	0/4
0/4	160	40-Adv	+12	172	0/4
0/4	172	40-Adv	+11	183	0/4
0/4	183	40-Adv	+11	194	0/4
0/4	194	40-Adv	+11	205	0/4
0/4	205	40-Adv	+9	214	0/4
0/4	214	40-Adv	+10	224	0/4
0/4	224	40-Adv	+8	232	0/4
0/4	232	40-Adv	+9	241	0/4
0/4	241	40-Adv	+8	249	0/4
0/4	249	40-Adv	+7	256	0/4
0/4	256	40-Adv	+7	263	0/4
0/4	263	40-Adv	+7	270	0/4
0/4	270	40-Adv	+7	277	0/4
0/4	277	40-Adv	+6	283	0/4
0/4	283	40-Adv	+6	289	0/4
0/4	289	40-Adv	+5	294	0/4
0/4	294	40-Adv	+5	299	0/4
0/4	299	40-Adv	+5	304	0/4
0/4	304	40-Adv	+5	309	0/4
0/4	309	40-Adv	+5	314	0/4
0/4	314	40-Adv	+4	318	0/4
0/4	318	40-Adv	+4	322	0/4
0/4	322	40-Adv	+4	326	0/4
0/4	326	40-Adv	+4	330	0/4
0/4	330	40-Adv	+3	333	0/4
0/4	333	40-Adv	+3	336	0/4
0/4	336	40-Adv	+4	340	0/4
0/4	340	40-Adv	+3	343	0/4
0/4	343	40-Adv	+2	345	0/4
0/4	348	40-Adv	+3	351	0/4
0/4	351	40-Adv	+2	353	0/4
0/4	353	40-Adv	+2	355	0/4
0/4	355	40-Adv	+3	358	0/4
0/4	358	40-Adv	+2	360	0/4
0/4	360	40-Adv	+2	362	0/4
0/4	362	40-Adv	+2	364	0/4
0/4	364	40-Adv	+1	365	0/4
0/4	365	40-Adv	+2	367	0/4
0/4	367	40-Adv	+2	369	0/4
0/4	369	40-Adv	+1	370	0/4
0/4	370	40-Adv	+2	372	0/4
0/4	372	40-Adv	+1	373	0/4
0/4	373	40-Adv	+1	374	0/4
0/4	374	40-Adv	+2	376	0/4
0/4	376	40-Adv	+1	377	0/4
0/4	377	40-Adv	+1	378	0/4
0/4	378	40-Adv	+1	379	0/4
0/4	379	40-Adv	+1	380	0/4
0/4	380	40-Adv	+1	381	0/4
0/4	381	40-Adv	+1	382	0/4
0/4	382	40-Adv	+1	383	0/4
0/4	383	40-Adv	+1	384	0/4
0/4	384	40-Adv	±0	384	0/4
0/4	384	40-Adv	+1	385	0/4
0/4	385	40-Adv	+1	386	0/4
0/4	386	40-Adv	+1	387	0/4
0/4	387	40-Adv	±0	387	0/4
0/4	387	40-Adv	+1	388	0/4
0/4	388	40-Adv	±0	388	0/4
0/4	388	40-Adv	+1	389	0/4
0/4	389	40-Adv	+1	390	0/4
0/4	390	40-Adv	±0	390	0/4
0/4	390	40-Adv	+1	391	0/4
0/4	391	40-Adv	±0	391	0/4
0/4	391	40-Adv	±0	391	0/4
0/4	391	40-Adv	+1	392	0/4
0/4	392	40-Adv	±0	392	0/4
0/4	392	40-Adv	+1	393	0/4
0/4	393	40-Adv	±0	393	0/4
0/4	393	40-Adv	±0	393	0/4
0/4	393	40-Adv	+1	394	0/4
0/4	394	40-Adv	±0	394	0/4
0/4	394	40-Adv	±0	394	0/4
0/4	394	40-Adv	±0	394	0/4
0/4	394	40-Adv	+1	395	0/4
0/4	395	40-Adv	±0	395	0/4
0/4	395	40-Adv	±0	395	0/4
0/4	395	40-Adv	±0	395	0/4
0/4	395	40-Adv	+1	396	0/4
0/4	396	40-Adv	±0	396	0/4
0/4	396	40-Adv	±0	396	0/4
0/4	396	40-Adv	±0	396	0/4
0/4	396	40-Adv	±0	396	0/4
0/4	396	40-Adv	±0	396	0/4
0/4	396	40-Adv	+1	397	0/4
0/4	397	40-Adv	±0	397	0/4
0/4	397	40-Adv	±0	397	0/4
0/4	397	40-Adv	±0	397	0/4
0/4	397	40-Adv	±0	397	0/4
0/4	397	40-Adv	±0	397	0/4
0/4	397	40-Adv	±0	397	0/4
0/4	397	40-Adv	±0	397	0/4
0/4	397	40-Adv	+1	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	±0	398	0/4
0/4	398	40-Adv	+1	399	0/4
0/4	399	40-Adv	±0	399	0/4
(Repeat the previous row 49 more times, total 50 times)
0/4	399	Adv-40	+20	419	1/4
1/4	419	40-Adv	-1	418	1/4
1/4	418	40-Adv	-1	417	1/4
1/4	417	40-Adv	±0	417	0/4
0/4	417	40-Adv	-1	416	0/4
0/4	416	40-Adv	-1	415	0/4
0/4	415	40-Adv	-1	414	0/4
0/4	414	40-Adv	-1	413	0/4
0/4	413	40-Adv	±0	413	0/4
0/4	413	40-Adv	-1	412	0/4
0/4	412	40-Adv	-1	411	0/4
0/4	411	40-Adv	±0	411	0/4
0/4	411	40-Adv	-1	410	0/4
0/4	410	40-Adv	±0	410	0/4
0/4	410	40-Adv	-1	409	0/4
0/4	409	40-Adv	±0	409	0/4
0/4	409	40-Adv	-1	408	0/4
0/4	408	40-Adv	±0	408	0/4
0/4	408	40-Adv	-1	407	0/4
0/4	407	40-Adv	±0	407	0/4
0/4	407	40-Adv	±0	407	0/4
0/4	407	40-Adv	-1	406	0/4
0/4	406	40-Adv	±0	406	0/4
0/4	406	40-Adv	±0	406	0/4
0/4	406	40-Adv	-1	405	0/4
0/4	405	40-Adv	±0	405	0/4
0/4	405	40-Adv	±0	405	0/4
0/4	405	40-Adv	-1	404	0/4
0/4	404	40-Adv	±0	404	0/4
0/4	404	40-Adv	±0	404	0/4
0/4	404	40-Adv	±0	404	0/4
0/4	404	40-Adv	±0	404	0/4
0/4	404	40-Adv	-1	403	0/4
0/4	403	40-Adv	±0	403	0/4
0/4	403	40-Adv	±0	403	0/4
0/4	403	40-Adv	±0	403	0/4
0/4	403	40-Adv	±0	403	0/4
0/4	403	40-Adv	-1	402	0/4
0/4	402	40-Adv	±0	402	0/4
0/4	402	40-Adv	±0	402	0/4
0/4	402	40-Adv	±0	402	0/4
0/4	402	40-Adv	±0	402	0/4
0/4	402	40-Adv	±0	402	0/4
0/4	402	40-Adv	±0	402	0/4
0/4	402	40-Adv	±0	402	0/4
0/4	402	40-Adv	-1	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	±0	401	0/4
0/4	401	40-Adv	-1	400	0/4
0/4	400	40-Adv	±0	400	0/4
(Repeat the previous row 49 more times, total 50 times)
0/4	400	30-40	-5	395	0/4
0/4	395	30-40	-5	390	0/4
0/4	390	30-40	-5	385	0/4
0/4	385	30-40	-4	381	0/4
0/4	381	30-40	-4	377	0/4
0/4	377	30-40	-4	373	0/4
0/4	373	30-40	-4	369	0/4
0/4	369	0-40	-18	351	0/4
0/4	351	0-40	-18	333	0/4
0/4	333	0-40	-16	317	0/4
0/4	317	15-40	-9	308	0/4
0/4	308	30-40	±0	308	0/4
0/4	308	30-40	-1	307	0/4
0/4	307	30-40	±0	307	0/4
0/4	307	30-40	±0	307	0/4
0/4	307	30-40	-1	306	0/4
0/4	306	30-40	±0	306	0/4
0/4	306	30-40	±0	306	0/4
0/4	306	30-40	-1	305	0/4
0/4	305	30-40	±0	305	0/4
0/4	305	30-40	±0	305	0/4
0/4	305	30-40	-1	304	0/4
0/4	304	30-40	±0	304	0/4
0/4	304	30-40	±0	304	0/4
0/4	304	30-40	±0	304	0/4
0/4	304	30-40	±0	304	0/4
0/4	304	30-40	-1	303	0/4
0/4	303	30-40	±0	303	0/4
0/4	303	30-40	±0	303	0/4
0/4	303	30-40	±0	303	0/4
0/4	303	30-40	±0	303	0/4
0/4	303	30-40	-1	302	0/4
0/4	302	30-40	±0	302	0/4
0/4	302	30-40	±0	302	0/4
0/4	302	30-40	±0	302	0/4
0/4	302	30-40	±0	302	0/4
0/4	302	30-40	±0	302	0/4
0/4	302	30-40	±0	302	0/4
0/4	302	30-40	±0	302	0/4
0/4	302	30-40	-1	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	±0	301	0/4
0/4	301	30-40	-1	300	0/4
0/4	300	15-40	-7	293	0/4
0/4	293	15-40	-7	286	0/4
0/4	286	0-40	-15	271	0/4
0/4	271	0-40	-13	258	0/4
0/4	258	0-40	-13	245	0/4
0/4	245	0-40	-12	233	0/4
0/4	233	0-40	-12	221	0/4
0/4	221	0-40	-11	210	0/4
0/4	210	0-40	-11	199	0/4
0/4	199	15-40	-2	197	0/4
0/4	197	0-40	-10	187	0/4
0/4	187	0-40	-9	178	0/4
0/4	178	0-40	-9	169	0/4
0/4	169	0-40	-9	160	0/4
0/4	160	0-40	-8	152	0/4
0/4	152	15-40	±0	152	0/4
0/4	152	15-40	±0	152	0/4
0/4	152	15-40	±0	152	0/4
0/4	152	15-40	±0	152	0/4
0/4	152	15-40	±0	152	0/4
0/4	152	15-40	±0	152	0/4
0/4	152	15-40	-1	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	±0	151	0/4
0/4	151	15-40	-1	150	0/4

At this point, I thought that the asymptote was multiplied by a factor depending on the rival's skill, and that that factor would be 2 for Sarah/Elisa, giving 2400. But the next experiment proved me wrong: the differences between the asymptotes for different scores were not doubled, but remained the same. That suggested that they were offset instead. But first I wanted to be sure that the 0/4 skill rivals were reached losing by with 40-Adv. This particular series can be quite valuable to help finding out how the rivals ranking works.

Table 8: Series of 40-Adv losses followed by a series of Adv-40 wins.

Rivals skill	Skill before	Score	Points	Skill after	Next rivals skill
63/49	0	40-Adv	+20	20	57/35
57/35	20	40-Adv	+20	40	46/23
46/23	40	40-Adv	+18	58	33/12
33/12	58	40-Adv	+17	75	24/12
24/12	75	40-Adv	+17	92	17/4
17/4	92	40-Adv	+15	107	12/0
12/0	107	40-Adv	+13	120	9/0
9/0	120	40-Adv	+14	134	6/0
6/0	134	40-Adv	+13	147	4/0
4/0	147	40-Adv	+13	160	3/4
3/4	160	40-Adv	+11	171	2/4
2/4	171	40-Adv	+12	183	2/4
2/4	183	40-Adv	+11	194	1/4
1/4	194	40-Adv	+10	204	1/4
1/4	204	40-Adv	+9	215	1/4
1/4	215	40-Adv	+10	225	0/4
0/4	225	40-Adv	+8	233	0/4
0/4	233	Adv-40	+29	262	2/4
2/4	262	Adv-40	+27	289	6/0
6/0	289	Adv-40	+25	314	14/4
14/4	314	Adv-40	+24	338	26/12
26/12	338	Adv-40	+24	362	44/23
44/23	362	Adv-40	+22	384	66/49
66/49	384	Adv-40	+21	405	92/65
92/65	405	Adv-40	+21	426	120/100
120/100	426	Adv-40	+20	446	160/140
160/140	446	Adv-40	+20	466	200/160
200/160	466	Adv-40	+19	485	240/210
240/210	485	Adv-40	+20	505	290/260
290/260	505	Adv-40	+19	524	340/310
340/310	524	Adv-40	+19	543	400/370
400/370	543	Adv-40	+20	563	460/430
460/430	563	Adv-40	+20	583	520/490
520/490	583	Adv-40	+21	604	580/550
580/550	604	Adv-40	+21	625	640/620
640/620	625	Adv-40	+22	647	710/690
710/690	647	Adv-40	+23	670	780/760
780/760	670	Adv-40	+23	693	860/840
860/840	693	Adv-40	+25	718	930/910
930/910	718	Adv-40	+26	744	1000/990
1000/990	744	Adv-40	+27	771	1100/1100
1100/1100	771	Adv-40	+28	799	1200/1200
1200/1200	799	Adv-40	+29	828	1300/1200
1300/1200	828	Adv-40	+31	859	1300/1300
1300/1300	859	Adv-40	+33	892	1400/1400
1400/1400	892	Adv-40	+33	925	1500/1500
1500/1500	925	Adv-40	+36	961	1600/1600
1600/1600	961	Adv-40	+37	998	1700/1700
1700/1700	998	Adv-40	+38	1036	1600/1600(*)
1600/1600(*)	1036	Adv-40	+41	1077	1900/1900
1900/1900	1077	Adv-40	+42	1119	2000/1900
2000/1900	1119	Adv-40	+43	1162	2000/1900
2000/1900	1162	Adv-40	+42	1204	2000/1900
2000/1900	1204	Adv-40	+40	1244	2000/1900
2000/1900	1244	Adv-40	+38	1282	2000/1900

(*) That is probably 1800/1800 and is a transcription error on my side. Sometimes I confuse the 6s and the 8s with that font.

With a Libreoffice spreadsheet I was able to determine the asymptote from just the last few data points, when the rivals were maxed out. It turned out to be 2000.

It's easy to construct the spreadsheet. In cell B2 put the starting value of the series you want to analyze. In cell A2 put the asymptote to test. Then in cell B3 write this formula: =($A$2+C3+B2*19)/20. Column C will be for offsets (a series of 0's for 0/4 rivals, a series of 1200's for 2000/1900 rivals, and you can adjust by hand cell by cell in other cases). Then extend B3 to the rest of column B up to where you want. Then in cell D2 you write: =INT(B2) and extend it to the rest of column D. If you want, in cell E2 you can put: =(D3-D2) and extend it to the column; that column will have the computed differences. You can also add an extra column F with the real differences or with the real skill points, starting at F2, and a column G with this formula: =IF(E2<>F2;"Diff";"=") to tell you which cells don't match (change E2 to D2 if you put real skill points in column F instead of differences).

So, that's what I have so far. If you are willing to help me out with the rivals' skill points formula, please state so in the comments. Thanks!

Caps Lock Led Toggled problem

The cause: https://bugs.freedesktop.org/show_bug.cgi?id=16145

The solution: xdotool key Caps_Lock

Another alternative solution is to use xmacro: printf 'KeyStrPress Caps_Lock\nKeyStrRelease Caps_Lock\n' | xmacroplay $DISPLAY

Basically, the reason is that when faking a Caps Lock key press programmatically in order for an application to toggle the Caps Lock state, the led does not toggle and the state becomes out of sync between the led and the keyboard.

It used to happen when entering a word like tHIS in OpenOffice with Caps Lock on, though late versions seem to have fixed it. But I've also suffered it when using x11vnc and pressing Caps Lock in the client. At that moment, the keyboard becomes desynced. The command above syncs it again. The source code in the bug report linked above works well too, in case you can't find xdotool or xmacro. They come as Debian and Ubuntu packages, though, so they should be easy to find.

Laboratorio de evolución

¿Qué hace falta para que la evolución se produzca?

Hacen falta organismos autorreplicantes. Es decir, algún tipo de entidad que pueda producir copias de sí misma. Por ejemplo, células, animales, plantas, pero sirven otras entidades. Dichas copias deberían ser inexactas, es decir, las réplicas deben ser parecidas pero no iguales al progenitor. Si son idénticas, no puede haber evolución.

Ha de haber un medio al que adaptarse (si los organismos ya están adaptados, poca evolución se puede dar). Las variaciones en las réplicas deben tener el potencial de que algunas están mejor adaptadas al medio (aunque sólo sea levemente) y otras peor.

Y hace falta tiempo, claro. La evolución no es un proceso instantáneo.

En el escenario típico en el que la evolución se produce, el medio suele tener alimento que los organismos requieren. Suele variar con el tiempo debido a factores muy diversos como climatología, ciertos eventos o fenómenos, o la propia interacción con los organismos. Éstos, por su parte, requieren adaptarse al medio para conseguir alimento; y el fracaso al hacerlo influye en su mortalidad, que repercute en la capacidad reproductiva.

Aquí presentamos un programa en JavaScript que pueden ejecutar en su navegador, que incluye todos esos elementos para demostrar cómo la evolución se produce de forma natural en él. Está basado en un programa en Pascal escrito por Javier Sebastián y refinado por Alejandro Valero y un servidor, que a su vez está basado en la descripción de un programa escrito por Michael Palmiter [1] que apareció en un artículo de A.K.Dewdney, en la sección Juegos de Ordenador de la revista Investigación y Ciencia.

La versión JavaScript aquí presentada, así como el presente texto, son, por supuesto, copyright © 2013 Pedro Gimeno Fortea. El generador de números pseudoaleatorios es ran_array, un generador de Fibonacci retardado (LFG) con retardos 37 y 100, diseñado por Donald E. Knuth.

El programa utiliza el elemento <canvas>, por lo que es necesario un navegador que lo soporte. Si su navegador es muy antiguo, es posible que no funcione; no hay como probar para saberlo.

¿En qué consiste la simulación? Se trata de un «mundo» rectangular en el que habitan unos organismos, que llamaremos protozoos, que pueden moverse libremente (la topología es toroidal, es decir, cuando un protozoo sale por arriba, reentra por abajo en el mismo punto, y similarmente con izquierda y derecha). En este «mundo» aparecen unas motas que llamaremos bacterias, que por simplicidad lo hacen por generación espontánea y permanecen en el sitio hasta que son comidas por un protozoo, si es que ocurre. Si se prefiere, en vez de bacterias se puede imaginar que se trata de polvo alimenticio que se acumula en una superficie. La velocidad de aparición de las bacterias es constante. Una zona del rectángulo es un «jardín del Edén», donde las bacterias florecen a un ritmo mucho más rápido. En su centro hay un foco luminoso.

Los protozoos se reproducen por bipartición y se alimentan de bacterias al pasar por encima de ellas (si no están saciados). Para poder reproducirse, deben tener una energía mínima necesaria y haber alcanzado una edad mínima de «madurez sexual». Cuando se dan ambas circunstancias, se produce la bipartición sin más demora. El tiempo se mide en «ciclos» o «ticks» de un reloj imaginario. La vida de un protozoo está limitada por dos factores: tiempo (es decir, pueden morir de viejos) y energía (muerte por inanición).

Por simplicidad, la única variación que hay en la reproducción de los protozoos afecta a la forma en que se mueven. Cada protozoo contiene un «material genético» que define la probabilidad de que haga ciertos movimientos. La retícula por la que se mueven (y en la que se colocan las bacterias) tiene una disposición hexagonal. Eso implica seis sentidos diferentes en los que se puede mover cada organismo.

Los protozoos tienen una «dirección actual» que cambia en cada ciclo de una forma aleatoria pero modulada por el material genético. Cada posible cambio de dirección tiene un gen asociado: hay un gen para seguir adelante, otro para girar 60° a la derecha, otro para hacerlo a la izquierda, otro para girar 120° a la derecha, otro para lo mismo a la izquierda, y otro para dar media vuelta. Además, hay un gen que indica si el protozoo es atraído por la luz. Si se activa, el protozoo gira inmediatamente en la dirección que más le acercaría a la luz. Si hay más de una que le acercaría más que las demás, se escoge una al azar de entre las posibles.

Este material genético está en forma de enteros. Dado lo restringido de la simulación, para que ésta sea más rápida, los enteros se aplican de forma exponencial para decidir el giro siguiente. Para decidir en qué forma girará el protozoo, el valor de 2 elevado a cada gen se usa como peso en una elección aleatoria. Por ejemplo, si el gen de avanzar tiene el valor 3 y todos los demás tienen el valor 0, entonces es ocho (2³) veces más probable que el protozoo avance que que haga cada uno de los otros movimientos.

La simulación empieza con cierta población inicial de protozoos y de bacterias. Los genes se precargan con números al azar. Al principio, típicamente se mueven de forma tan errática e indecisa que, a la larga, apenas se desplazan de su posición original. Esto es ineficiente en ese medio, ya que pronto consumirán las bacterias que tienen a su alrededor, se quedarán sin alimento y morirán. Pero unos pocos tienen algo más de movilidad y consiguen sobrevivir unos ciclos más. Los más afortunados sobrevivirán lo suficiente como para que, ante el declive del número de depredadores que se llevan el alimento, la zona se llene de bacterias y puedan comer mucho más rápido, llegando a alcanzar la energía de reproducción.

En cada reproducción se produce una mutación (un cambio de una unidad, al alza o a la baja, en un gen al azar). Como en cualquier proceso evolutivo, las mutaciones pueden ser buenas o malas. Si la progenie está peor adaptada, morirá más facilmente, y si se adapta mejor al medio, lo que en este caso implica tener más movilidad para alcanzar más alimento, tendrá más facilidad para sobrevivir y por tanto reproducirse.

Y eso es lo que se observa en la simulación. Aunque no tiene ninguna preferencia para ser elegido en el código, con el transcurrir de las generaciones, el gen de ir en línea recta predomina sobre los demás, ya que esto facilita al protozoo desplazarse alrededor del área en vez de «enquistarse» en una zona más pequeña, lo cual le supone una ventaja sobre otros protozoos que no tienen esa característica. Y al comer más, también deja menos comida para los peor adaptados, haciendo, por tanto, más facil que mueran de inanición.

Esto se observa con las semillas aleatorias de 1 a 3. Con la semilla 4, sucede algo diferente. Algunos de los protozoos empiezan a tener «curiosidad» por la luz; cuando llegan, descubren que por allí hay comida en abundancia. Tímidos todavía, siguen mayormente haciendo lo único que saben hacer, que es moverse erráticamente, pero si se alimentan lo suficiente, parte de su descendencia desarrollará mayor afinidad por la luz, con lo que tendrá más acceso al jardín del Edén. Teniendo sus necesidades cubiertas, aventurarse a las proximidades en busca de otros métodos para alimentarse va a resultar contraproducente. Mientras tanto, los que no han desarrollado una afinidad por la luz suficiente, siguen su curso. El resultado es la especiación: dos especies de protozoos, una afín a la luz que ronda el jardín del Edén, que llamaremos Polilla, y la otra afanosa por cubrir la mayor área posible, que llamaremos Explorador. Y, como en la evolución natural, esta especiación es producto del azar.

Una vez las dos especies se han diferenciado, es difícil que se produzca un cambio. Si uno de los genes empieza a cobrar importancia, el otro se reducirá en importancia, con lo que en este mundo competitivo, tendrá menos ventaja sobre sus hermanos. Así, es poco probable que la descendencia de una Polilla acabe transformándose en Explorador, porque los genes no mutan tan deprisa, y una vez empieza a separarse de la luz, el alimento escasea demasiado en comparación; similarmente, es poco probable que la descendencia de un Explorador acabe siendo Polilla, porque en cuanto la predisposición a ir en línea recta decrece para dar importancia a girar hacia la luz, sus hermanos Exploradores darán cuenta del alimento y el individuo estará en desventaja competitiva, haciendo más fácil que muera antes de evolucionar. Sin embargo, ese tipo de saltos de comportamiento han sido observados durante el ajuste de parámetros, lo cual implica que no son imposibles.

Además de permitirnos contemplar cómo, con los ingredientes adecuados, la evolución es un proceso que surge de forma natural, este programa también tiene otro efecto secundario. Nos ofrece también la posibilidad de observar el fenómeno de la fluctuación en las poblaciones de un sistema depredador-presa, del tipo modelado por las ecuaciones diferenciales de Lotka–Volterra. En este caso, los depredadores son los protozoos y las presas son las bacterias. Cuando el número de protozoos aumenta, éstos comen bacterias y hacen que la población de bacterias disminuya. Esa disminución pronto provoca muerte por inanición de protozoos, con lo que la población de éstos empieza a disminuir a su vez. Al haber menos depredadores, las bacterias tienen oportunidad de volver a crecer en número, lo que hace que los protozoos tengan más comida, con lo que su número aumenta y el ciclo se repite. No ha sido fácil encontrar parámetros que hacen la relación lo bastante estable; durante la búsqueda, en algunos casos he encontrado un baby boom que causa una superpoblación que arrasa con la gran mayoría de bacterias, seguido de una caída en picado de la población que acaba con todos los protozoos antes de que las bacterias se recuperen en número.

Así que, he aquí el programa. Que lo disfruten.

Referencias

[1] Michael Palmiter, Simulated Evolution. http://lifesciassoc.home.pipeline.com/instruct/evolution/